NAVEGA A LAS MATEMATICAS

 

 

TEOREMA DE RESIDUO Y DEL FACTOR

Antecentes

Para hacer comprobaciones sobre lo que se verá en éste tema se puede usar nuestra calculadora de división sintética. Si dividimos el polinomio 2x3 - 4x2 - 3x + 2 entre el polinomio x - 3

 

 

 

 

encontramos que el cociente es 2x2 + 2x + 3 y que el residuo es 11. Por otra parte, si evaluamos numéricamente la función polinomial ƒ(x)correspondiente al polinomio 2x3 - 4x2 - 3x + 2 para el valor de x = 3, se obtiene

ƒ(x) = 2x3 - 4x2 - 3x + 2
ƒ(3) = 2(3)3 - 4(3)2 - 3(3) + 2
ƒ(3) = 2(27) - 4(9) - 9 + 2
ƒ(3) = 54 - 36 - 9 + 2
ƒ(3) = 11

No es ninguna casualidad que el residuo de la división anterior entre x - 3 y la evaluación numérica para ƒ(3) ambas den como resultado respectivamente residuo y valor numérico de 11. La explicación de esta coincidencia se encuentra en el Teorema del residuo.

 

Teorema del residuo

Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).

El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.

A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor dex para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio.

 

Teoremas:

1) Para comprobar si un polinomio dividido entre “x-a” es exacto, se divide el término independiente del polinomio entre el término independiente del binomio, sin tomar en cuenta los signos; y si el resultado es cero (0), es exacta.

2) Para comprobar si un polinomio entero en “x” es divisible entre un binomio de la forma “x-a”; se sustituye el valor de “x” del polinomio con el valor opuesto del segundo término del binomio, y si el resultado es igual a cero, o sea que se anula, el polinomio si es divisible entre x-a.

NOTA: Aún cuando el resultado de dividir los términos independientes sean exacto (Paso 1), no es condición suficiente para afirmar que el polinomio es divisible entre el binomio (Paso 2).

Ejemplos:

Para Paso 1)  Hallar, sin efectuar la división, si es exacta la división de x^3 -4x^2 +7x -6  entre x-2.

–> 6 / 2 = 3   –> la división es exacta.

Para Paso 2) Hallar, sin efectuar la división, si x^3 -4x^2+7x -6

es divisible entre x-2.

– Opuesto del 2º término del binomio (-2) = 2

– Sustituyendo:

x^3 -4x^2 +7x -6 = (2)^3 -4(2)^2 +7(2) -6 = 8 -16 +14 -6 = 32-32 = 0

por lo tanto el polinomio es divisible entre “x-2″.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Teorema del factor

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.

Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

 

1(x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)6 − 1 = 0

(x + 1) es un factor.